Является ли царь Соломон святым?

1. Смотрим Православный Церковный календарь 2020г., издательство Московской Патриархии. Среди “имён святых, упоминаемых в календаре” значится “Соломон, царь Израильский, память в Неделю Св. праотец”. С пометкой, что он относится к святым, отсутствующим под числами в месяцеслове, но упоминающихся в богослужебных книгах.
См. в Православном календаре: Пророк Соломо́н, царь Израильский.

2. В Православии более уместен термин “причисление к лику святых”, а не канонизация. «Канонизация святых — латинское выражение, относящееся к западным обрядам, чуждым Православной Церкви. В чине западной канонизации заключается между прочим адвокат святого и адвокат диавола» (Филарет Московский, свт. Собр. мнений. 1885. Т. 3. С. 383–391).

То, что Соломон сподобился Царства Небесного, следует не из формального акта, а из церковного почитания. Он почитается за благочестие и мудрость первого периода правления и несомненную богодухновенность оставленных им писаний, хотя праведности Давида он и не достиг (3Цар.11:6).

В состав Ветхозаветных Священных книг, включены его книги: Книга Премудрости Соломоновой, Песнь песней, Притчи и Екклесиаст. Эти книги в составе паремий читаются и за церковным богослужением. Значит, Церковь признает тексты его творений духоносными и назидательными для христиан.
И хотя Библия не сообщает нам о факте его покаяния, в Предании Церкви сохраняется память об этом.

Отступление Соломона от веры не было полным отпадением, он был выведен Христом из ада вместе со всеми праведниками (Ин.8:56). Это подтверждают и иконописные типы изображения царя Соломона — в пророческом чине иконостасов и на иконах Сошествия во ад. Известная чудотворная икона Богородицы – Курская Коренная, от которой получил исцеление преп. Серафим Саровский, среди прочих священных лиц, содержит и изображение царя Соломона в нимбе.

Церковь не прославляет его за богоугодное житие, как всех прочих честных праотец. В последовании Недели святых праотец другие праотцы упоминаются неоднократно, с конкретными указаниями особенностей их подвига, а Соломон — всего единожды:
Светилен в неделю свв. Праотец: Адама восхвалим, Авеля, Сифа, и Еноса: Еноха, и Ноа: Авраама, Исаака и Иакова: Моисеа, Иова, и Аарона: Елеазара, и Иисуса: Варака, Сампсона, и Иеффая: Давида, и Соломона.

3. Ответ прот. Олега Стеняева: Отец Олег, спасся ли Соломон?

Святитель Филарет Московский (Дроздов):

К сожалению, обращение Соломона не столь достоверно, как его заблуждения. Однако Кирилл Иерусалимский, Епифаний, Иероним, думают, что он предварил смерть свою покаянием. Сего плода надлежало ждать от наказаний, которые он претерпел уже и в событиях и в предсказаниях; сего надлежало надеяться от Бога, который еще до его рождения обещал не предавать его конечному отвержению. Книга Екклесиаста, по – видимому, есть памятник сего покаяния. Многократные восклицания против суеты, описания пышности, роскоши, вольномыслия, резкие укоры против женского пола, живое изображение старости, заключительное воззвание к страху Божьему, как единственному предмету человека – все в оной приличествует последним дням человека наскучившегося миром и стремящегося к Богу. Впрочем Соломон оставил по себе и памятники своих преступлений: неизвестно, времени, или ревности не достало у него, чтобы разрушить свои капища.
(Начертание церковно-библейской истории, изд. 10‑е, с. 230–231).

Да, считается что он покаялся в конце жизни.

Он упоминается как ветхозаветный святой в тексте службы святых праотец. На иконах изображается с нимбом, рядом со своим отцом — царем Давидом.