АЛГЕБРА БУЛЯ

– исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AE.B; умножение классов АCВ; дополнение класса А́. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами:

la. AE(BEC)=(AEB) EC – ассоциативность сложения;

16. AC(BCC)= (ACВ) EC – ассоциативность умножения;

2a.AEB= BEA – коммуникативность сложения;

2б.АCВ =ВCА – коммуникативность умножения;

3a.AE(ВCС)= =(AEB) C(AEC) – дистрибутивность сложения относительно умножения;

36.AC(BEC)=(ACB) E(ACC) – дистрибутивность умножения относительно сложения.

В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми

подчиняются следующим соотношениям:

AE0=A;

AC1=A;

AEÁ=1;

ACÁ=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А равна А: АEА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АCА=А, а не A2.

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения E на C и C на E, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да – нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.