А.А. Ивин, А.Л. Никифоров

Источник

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, или: Пропозициональная логика,

– раздел логики, формализующий употребление логических связок «и», «или», «не», «если, то» и т. п., служащих для образования сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые высказывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.

В логике классической предполагается, что простое высказывание является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являющееся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связки «или» (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное высказывание, образованное с помощью «не» (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация), истинно в трех случаях: оба входящие в него высказывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний (следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за словом «то») истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.

Возможны и другие способы образования сложных высказываний. Всего в классической двузначной логике четыре способа образования сложного высказывания из одного высказывания и шестнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.

Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p1, q1, r1, ..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок: & – конъюнкция («и»), v – дизъюнкция («или»),   – отрицание («не» или «неверно, что»), -> – импликация («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В – формулы, то (А&В), (AvB),  A и (A->B) также формулы.

Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q – высказывание «Сейчас темно» и r – высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p->(qvr)) представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q&.r)->p) – высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула ( q-> p) – высказывание: «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула ( q-> p) принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р.

Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение «истинно» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех распределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавтологии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в частности, формулы:

(р->р) – закон тождества,  (р& р) – закон непротиворечия,

(pv p) – закон исключенного третьего, (p->q)->( q-> p) – закон контрапозиции. Множество тавтологий бесконечно.

Л. в. может быть представлена также в форме логического исчисления, в котором задается способ доказательства некоторых высказываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоремы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология – теоремой (см.: Полнота). По отношению к аксиоматическому построению встают также вопросы о его непротиворечивости и независимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое высказывание является истинным или ложным, существуют многообразные неклассические Л. в. В числе последних – многозначные Л. в., интуиционистская Л. в. и др.


Источник: Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

Комментарии для сайта Cackle