Родился в селе Нагайское Ряжского уезда Рязанской губернии в семье священника Саввы Пальмова. Родной брат Василия (1846 г.р.) и Михаила Пальмова (1859 г.р.).
В 1870 году окончил Скопинское духовное училище по I разряду [1], в 1876 году - Рязанскую духовную семинарию, в 1880 году - Санкт-Петербургскую духовную академию со степенью кандидата-магистранта и был оставлен для подготовки к занятию только что учрежденной тогда кафедры истории славянских Церквей. Чтобы познакомиться с состоянием науки о славянах, совершенствовать знание славянских языков, Пальмов был в 1880-1881 годы командирован на историко-филологический факультет Санкт-Петербургского университета под руководство известного слависта В. И. Ламанского.
13 июня 1881 года удостоен ученой степени магистра богословия.
С 8 ноября 1881 по 10 июля 1884 года с научной целью путешествовал по греко-славянским странам. Занимался в архивах и библиотеках Львова, Праги, Баутцена, Гернгута, Белграда, Вены, Загреба, Лайбаха (Любляны), Болгарии, Константинополя, Афона, Афин, острова Патмоса и Румынии.
С 15 августа 1885 года - сверхштатный преподаватель истории славянских церквей; с 20 ноября 1887 - доцент; с 16 декабря 1887 года - экстраординарный профессор.
С 1888 по 3 мая 1902 года безвозмездно заведовал хозяйством Академической церкви. С 1889 года состоял членом Совета Славянского Общества.
С 22 декабря 1904 года - доктор церковной истории и ординарный профессор. С 20 августа 1906 года - заслуженный ординарный профессор.
С 1907 года состоял членом Королевского чешского общества наук в Праге. С 1908 года состоял членом Чешской Академии наук и искусств.
С 20 августа 1911 года - сверхштатный заслуженный ординарный профессор Санкт-Петербургской духовной академии.
С 7 декабря 1913 года - член-корреспондент Академии наук по отделению русского языка и словесности, с 8 октября 1916 - ординарный академик по тому же отделению.
Скончался 28 ноября 1920 года в Петрограде.
"Не стало большого исторического человека, не стало праведной души, рушился один из важнейших столпов нашей старой Академии...", - писал 6 декабря проф. И.Е. Евсеев проф. А.И Бриллиантову (ОР РНБ Ф. 102. Оп. 1. Д. 817. Л.1)
