Родился в селе Барани Борисовского уезда Минской губернии в семье священника. Первоначальное образование получил в Минском духовном училище (1871–1877) и затем в Минской духовной семинарии (1877–1883). По окончанию семинарии Михаил Вержболович, как наиболее способный из выпуска, был отправлен на казенный счет продолжать образование в Киевскую духовную академию. В 1887 году он успешно окончил академию со степенью кандидата богословия и был оставлен при ней в качестве профессорского стипендиата для изучения психологии. 28 июля 1888 года Вержболовича назначили преподавателем на кафедру словесности и русской литературы в Симферопольскую духовную семинарию. В августе 1889 года он перевелся по прошению на ту же кафедру в Минскую семинарию.

В 1892 году Ученый совет Киевской духовной академии удостоил Вержболовича степени магистра богословия за сочинение «Пророческое служение в Израильском (десятиколенном) царстве». В этой работе автор попытался охватить исследуемый предмет в возможной полноте. Рассматривая библейские события, он указывал причины, почему пророки в каждом конкретном случае поступали так, а не иначе. История пророческого служения обязательно предварялась выяснением политических и религиозно-нравственных условий деятельности пророков, благодаря чему вырисовывалась целостная картина происходящего, а, следовательно, и подлинность событий.
В 1893 году М. О. Вержболович начинает печатать в «Минских Епархиальных Ведомостях» фундаментальное исследование «История Минской духовной семинарии», охватывающее период с 1785 по 1874 год. Вместе с тем в журнале «Вера и Разум» публикуются его обширные статьи по вопросам истории и развития психологии.
Вскоре на педагогические способности, трудолюбие и научные труды М. О. Вержболовича обратило внимание высшее духовное начальства. 21 сентября 1895 года приказом обер-прокурора Святейшего Синода его переводят преподавателем философских наук и дидактики в Московскую духовную семинарию. Через некоторое время он становится также членом епархиального Училищного совета и образованной при нем школьной комиссии.
В Москве Вержболович продолжает научно-публицистическую деятельность. Помимо статей, публикуемых преимущественно в журналах «Вера и Разум» и «Душеполезное чтение» выходят его сочинения: «Спиритизм перед судом науки и христианства», «Мир таинственных явлений», «Обзор русской психологии», «Обзор иностранной психологии» и др. Кроме того, он написал записки по дидактике, настолько солидные и ценные, что их издали на средства Синода.
В Москве Вержболовича как незаурядного педагога приглашали, помимо семинарии, и в другие учебные заведения. Он преподавал психологию в лицее Цесаревича Николая, в женских гимназиях Алелековой и Ежовой, в Александровском институте. Во внимание к «долговременному и полезному служению» педагогическое собрание семинарского Правления трижды награждало его денежной премией из капитала митрополита Московского Филарета. Как знаток древних языков, Вержболович по поручению Святейшего Синода работал в комиссии по переводу на русский язык Житий Святых.
Весной 1911 года у него обнаружился рак пищевода. К сожалению, хирургическая операция в известной клинике имени Морозова не принесла положительных результатов. Болезнь вынуждала оставить службу, и 21 июня 1911 года Вержболович уволился из Московской духовной семинарии. Предчувствуя приближение смерти, он 4 июля вернулся в Минск к родным, а уже 12 июля скончался, оставив после себя жену и троих детей.
По воспоминаниям коллег Михаил Осипович отличался глубокой религиозностью и умением поддерживать добрые товарищеские отношения с сослуживцами. Знавшие его люди отзывались о нем как о человеке, обладавшем редкой трудоспособностью, преданностью, до увлечения, педагогическому делу, талантливостью в изложении преподаваемых предметов и необыкновенной скромностью.
Погребли М. О. Вержболовича на Сторожевском кладбище города Минска, которое в советское время городские власти уничтожили.