Родился в 1836 году в Нижегородской губернии, в семье диакона. Новую фамилию Елеонский получил, согласно принятой тогда практике, при поступлении в семинарию. Окончив Нижегородскую духовную семинарию (1859), был отправлен для продолжения образования, как один из лучших выпускников, в Санкт-Петербургскую духовную академию. В академии получил звание магистра богословия, защитив диссертацию «О состоянии русского раскола при Петре I».

После окончания Академии в 1863 году, преподавал в духовных семинариях: сначала Рижской, затем — в Казанской, а с 1864 года — в Литовской. В том же 1864 году был назначен преподавателем Виленского училища для девиц духовного звания. В 1865 году стал библиотекарем Литовской духовной семинарии, а в 1867 году — членом педагогического собрания правления семинарии.

В 1870 году вступил в преподавательский состав Санкт-Петербургской духовной академии; по представлению профессора академии И. В. Чельцова, избран на должность доцента академии кафедры библейской истории. В 1875 году перешел на должность экстраординарного профессора, а в 1884 году защитил докторскую диссертацию по теме: «История израильского народа в Египте от поселения в земле Гесем до египетских казней» (СПб., 1884), и вступил в должность ординарного профессора.

С 1890 по 1896 год Ф. Г. Елеонский исполнял обязанности заведующего Санкт-Петербургской Синодальной типографией. В 1891 году получил чин действительного статского советника, в 1896 году — звание заслуженного профессора, в 1897 году вышел в отставку, в 1898 году был избран почетным членом СПбДА. Награждён орденом св. Станислава 1-й степени.

Умер в Санкт-Петербурге в 1906 году, похоронен на Никольском кладбище в Александро-Невской лавре.