Одно из значений преда́ть – подвергнуть предмет или человека какому-либо воздействию, привести его в какое-либо состояние.
По аналогии с фразеологизмом «преда́ть огню́ и мечу́» устойчивое выражение «преда́ть огласке» пишется с «пре».
«[Дядя] говорит только о том, что в случае возникновения процесса фамилия Усковых попадает в газеты; по его мнению, дело следует потушить в самом начале и не предава́ть его огласке» (А. П. Чехов, «Задача»).
Ларионова Ю.А. Фразеологический словарь современного русского языка. М.: Аделант, 2014. С. 329.