Различаются значением. Бессла́вие. Дурная слава, позор. Писатель, отдающий новую книгу миллионам читателей, с трепетом ждет славы или бессла́вия (А. Н. Толстой).
Бессла́вность. Свойство-качество чего-либо достойного осуждения, позорного. Бессла́вность смерти предателя.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 53.