Различаются значением.
Безвре́менность. Преждевременность. Безвре́менность кончины.
Безвре́менье. Тяжелое время, пора общественного, культурного застоя, пора невзгод. Безвре́менье конца прошлого века.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 47.