Двигать, дви́гает – двигать, дви́жет. Различаются значением.
Двигать, дви́гает. Перемещать, толкая или таща; шевелить частями тела; делать движения; (перен.) содействовать развитию чего-либо. Дви́гает стол к окну. Дви́гает пальцами ноги. Дви́гает науку вперёд. Рабочий класс рождает свои таланты и дви́гает в жизнь (Шпанов).
Двигать, дви́жет. Приводить в движение, побуждать, руководить. Пружина дви́жет часовой механизм. Вами дви́жет чувство сострадания. Пущин сомневался в страстях, можно ли говорить, что только страсти дви́жут важными переменами.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 149.