Различаются знач.
Дви́гающий. Перемещающий, толкая или таща; (перен.) содействующий развитию чего-либо. Грузчики, дви́гающие на толстых катках железную кассу. Гениальные ученые, дви́гающие науку вперед.
Дви́жущий. Приводящий в действие; (перен.) ведущий, побуждающий. Терек шумит, как колеса, дви́жущие жернов (Пушкин). Дви́жущие силы революции.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 149 – 150.