Как православные отшельники жили без Таинств и церковных служб?

Благодатью Божией. Их путь спасения не является образцом для людей, живущих в миру.

С другой стороны, немало отшельников, ища высшего совершенства, в конце концов преткнулись и погибли. Насколько сложно было не погибнуть в безмолвии, видно из соответствующего слова прп. Иоанна Лествичника, который много лет подвизался таким образом.

Некоторые из безмолвников получали таинства от Бога особенным образом, как то видно из жития прп. Онуфрия Великого:

Когда Онуфрий говорил все это, – я (повествует Пафнутий) весьма дивился чудному житию его. Потом снова спросил его: «Отче, каким образом ты причащаешься пречистых Христовых Тайн в субботу и в день воскресный?

Он отвечал мне: «Ко мне приходит Ангел Господень, который и приносит с собой пречистые Тайны Христовы и причащает меня. И не ко мне только одному приходит Ангел с причастием Божественным, но и к прочим подвижникам пустынным, живущим ради Бога в пустыне и не видящим лица человеческого; причащая, он наполняет сердца их неизреченным веселием. Если же кто-либо из этих пустынников пожелает видеть человека, то Ангел берет его и поднимает к небесам, дабы он видел святых и возвеселился, и просвещается душа такого пустынника, как свет, и радуется духом, сподобившись видеть блага небесные; и забывает тогда пустынник о всех трудах своих, предпринятых в пустыне. Когда же подвижник возвращается на свое место, то начинает еще усерднее служить Господу, надеясь получить на небесах то, что он сподобился видеть».