Совпадают в значении, но различаются употребительностью: в современном языке чаше употребляется малоду́шничать. Дружеский тебе совет; работать и не малоду́шничать (Наседкин). Узелков устыдился малоду́шествовать при свидетеле (Чехов).
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 313.