Совпадают в знач. «относящийся к монархизму и монархистам». Монархи́ческие (монархи́стские) взгляды.
Только монархический употр. в знач. «относящийся к монархии, основанный на принципах монархии». Монархи́ческое государство.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 340.