Нет, не обязательно, это просто обычай. Свт. Иоанн Златоуст наоборот, считал, что для христианина внешняя демонстрация печали по покойному, не имеет смысла:
Будем плакать, но без нарушения благопристойности, как-то не будем рвать себе волос, обнажать рук, терзать лицо, надевать черные одежды, а только будем в душе тихо проливать слезы… Сии слезы – следствие нежной любви, а те, происходят от безумной страсти.
Если Вы были на отпевании, то должны были заметить, что священник служил в белом облачении, а не в черном. Дело в том, что смерть открывает для человека вечность и даёт личную встречу с Богом на суде. А Бог есть свет.
Поэтому черный платок - это всего лишь обычай, причем не вполне церковный.
В Православной Церкви нет понятия "траур", есть только постоянное поминовение усопших за молитвой, в т.ч. в особые дни - годовщины, вселенские и родительские субботы.
Ношение траура - это только обычай, традиция. Вы сами можете определить себе её границы. Если на работе это неудобно, то и не надо. Вообще, вполне достаточно ограничить ношение траура поминальными службами и обедами.
Спасибо🙏