Различаются значением. Архаисти́ческий. Подражающий старинным формам. Архаисти́ческие манеры в живописи.
Архаи́ческий и архаи́чный совпадают в значении 1. Свойственный старине, древности. Архаи́ческий стиль. Для нашей эпохи стиль этого произведения чересчур архаи́чен. 2. Устаревший, вышедший из употребления. Архаи́ческое выражение. Архаи́ческие обычаи. Это выражение архаи́чно.
Различаются употреблением: архаи́чный обычно употребляется в краткой форме в роли сказуемого.
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 37.