Правильное написание: ме́рюсь. «Я здесь с тобой силушкой поме́рюсь и никуда более не пойду».
Каленчук М.Л., Касаткин Л.Л., Касаткина Р.Ф. Большой орфоэпический словарь русского языка. Литературное произношение и ударение XXI века: норма и её варианты. М.: АСТ-Пресс Школа, 2018. С. 377.