Совпадают в значении, но наём — нейтральное, наёмка — просторечное, а нанима́ние — устаревшее. В прежнее время на помощь поселенцам отпускались каторжные и выдавались деньги на наём плотников (Чехов). Происходит окончательная наёмка рабочих и заключение с ними контрактов (Короленко). Извозчиков... брали у Сухаревой башни, и нанима́ние их сопровождалось обычным торгом (Гиляровский).
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 354.