Пи́шущий пишется с суффиксом -ущ-. Именно его мы используем в действительных причастиях, образованных от глаголов первого спряжения. А писать — глагол на -ать и относится как раз-таки к первому спряжению.
«Кондуктору, пи́шущему стихи, живётся лучше, чем стихотворцу, не служащему в кондукторах» (А. П. Чехов, «Правила для начинающих авторов»).
Кузнецов С.А. Большой толковый словарь русского языка. СПб.: «Норинт», 2000. С. 1304. С. 835.