Различаются знач. и управлением.
Заслужи́ть, -служу, -служишь, что. Своими поступками, деятельностью добиться какого-л. отношения, положительной или отрицательной оценки. Заслужи́ть награду. Заслужи́ть выговор. Они вполне заслужи́ли свое положение и счастье (Каверин).
Заслу́живать, -аю, -аешь, чего. Быть достойным чего-л. Проект заслу́живает одобрения. Эта книга заслу́живает всяческой похвалы. Никогда еще в мире не было читателя, который так заслу́живал бы права на любовь и уважение к нему, как этого заслуживает наш читатель (Горький).
Розенталь Д. Э. Теленкова М. А. Словарь трудностей русского языка. М.: Айрис-Пресс, 2003. С. 216 – 217.