Борис Викторович Раушенбах родился 5 (18) января 1915 года в Петрограде (ныне — Санкт-Петербург) в семье кожевника Виктора Яковлевича Раушенбаха и преподавателя немецкого языка Леонтины Фёдоровны Халлик.
Окончив школу, работал столяром-сборщиком на авиационном заводе №32. В 1932 году поступил в Ленинградский институт инженеров гражданского воздушного флота, увлёкся конструированием планеров, освоил расчёты на прочность и участвовал в испытаниях в Коктебеле, где познакомился с С. П. Королёвым.
В 1937 году переехал в Москву и в Ракетном НИИ С. П. Королёва занялся проблемами устойчивости полёта крылатых ракет. В 1949 году защитил кандидатскую, а в 1958 — докторскую диссертации.
В середине 1950-х годов Раушенбах занялся теорией управления космическими аппаратами. Разработанные им системы ориентации космических аппаратов позволили сделать первые фотографии обратной стороны Луны. В 1960 году Раушенбах принимал активное участие в подготовке первого полёта человека в космос.
В 1966 году был избран членом-корреспондентом, а в 1986 году — действительным членом Академии наук СССР.
Жил и работал в Москве. Скончался 27 марта 2001 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.