Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» – пособие для юных гениев

Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» – пособие для юных гениев

(5 голосов5.0 из 5)

Книга, напи­сан­ная круп­ным мате­ма­ти­ком Рихар­дом Куран­том в соав­тор­стве с Гер­бер­том Роб­бин­сом, пере­из­да­ва­лась в нашей стране и обрела в Рос­сии попу­ляр­ность. Её зага­доч­ный под­за­го­ло­вок гла­сит: «Эле­мен­тар­ный очерк идей и методов».

Изда­ние пере­ве­дено с англий­ского и вышло в свет под редак­цией А. Н. Кол­мо­го­рова  в изда­тель­стве МЦНМО (Москва, 2015 г.)

hero.x935211f3 - Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» – пособие для юных гениев

Изда­тели от лица авто­ров сооб­щают, что «книга при­звана сокра­тить раз­рыв между мате­ма­ти­кой, кото­рая пре­по­да­ется в школе, и наи­бо­лее живыми и важ­ными для есте­ство­зна­ния и тех­ники раз­де­лами совре­мен­ной мате­ма­ти­че­ской науки». 

Если на этот счет вол­ну­ются извест­ные уче­ные, зна­чит, раз­рыв дей­стви­тельно есть. Полу­ча­ется, школь­ники недо­по­лу­чают самые акту­аль­ные зна­ния и на несколько шагов отстают от новых мате­ма­ти­че­ских реалий.

Про­дол­жаем читать анно­та­цию к кре­а­тив­ному учеб­нику: «Начи­ная с эле­мен­тар­ных поня­тий, чита­тель дви­жется к важ­ным обла­стям совре­мен­ной науки.

Книга напи­сана доступ­ным язы­ком и явля­ется клас­си­кой попу­ляр­ного жанра в математике.

Книга пред­на­зна­чена для школь­ни­ков, сту­ден­тов, пре­по­да­ва­те­лей, а также для всех инте­ре­су­ю­щихся раз­ви­тием мате­ма­тики и ее структурой.

Преды­ду­щее изда­ние вышло в 2013 г.»

Вы можете ска­чать книгу на нашем сайте. Чтобы соста­вить себе впе­чат­ле­ние о ее содер­жа­нии, озна­комь­тесь с оглавлением.

Что такое мате­ма­тика. Кур­рант, Роббинс

Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Оглавление

Пре­ди­сло­вие к изда­нию на рус­ском языке 10

К рус­скому чита­телю 14

Пре­ди­сло­вие 16

Как поль­зо­ваться кни­гой 19

Ч т о  т а к о е  м а т е м а т и к а? 20

Гл а в а I. Нату­раль­ные числа 25

Вве­де­ние 25

  • 1. Опе­ра­ции над целыми чис­лами 26
  1. Законы ариф­ме­тики. 2. Пред­став­ле­ние целых чисел с помо­щью пись­мен­ных зна­ков (нуме­ра­ция). 3. Ариф­ме­ти­че­ские дей­ствия в неде­ся­тич­ных систе­мах счисления.
  • 2. Бес­ко­неч­ность системы нату­раль­ных чисел. Мате­ма­ти­че­ская индук­ция 34
  1. Прин­цип мате­ма­ти­че­ской индук­ции. 2. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. 3. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия. 4. Сумма n пер­вых квадратов.

*5. Одно важ­ное нера­вен­ство. *6. Бино­ми­аль­ная тео­рема. 7. Даль­ней­шие заме­ча­ния по поводу метода мате­ма­ти­че­ской индукции.

Д о п о л н е н и е  к  г л а в е  I. Тео­рия чисел 45

Вве­де­ние 45

  • 1. Про­стые числа 45
  1. Основ­ные факты. 2. Рас­пре­де­ле­ние про­стых чисел. а. Фор­мулы, даю­щие про­стые числа. б. Про­стые числа в ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сиях. в. Тео­рема о рас­пре­де­ле­нии про­стых чисел. г. Две еще не решен­ные задачи о про­стых числах.
  • 2. Срав­не­ния 57
  1. Общие поня­тия. 2. Тео­рема Ферма. 3. Квад­ра­ти­че­ские вычеты.
  • 3. Пифа­го­ровы числа и боль­шая тео­рема Ферма 65
  • 4. Алго­ритм Евклида 67
  1. Общая тео­рия. 2. При­ме­не­ние к основ­ной тео­реме арифметики.
  2. Функ­ция Эйлера f(n). Еще раз о тео­реме Ферма. 4. Непре­рыв­ные дроби. Дио­фан­товы уравнения.

Гл а в а II. Мате­ма­ти­че­ская чис­ло­вая система     77

Вве­де­ние 77

  • 1. Раци­о­наль­ные числа 77
  1. Раци­о­наль­ные числа как сред­ство изме­ре­ния. 2. Воз­ник­но­ве­ние надоб­но­сти в раци­о­наль­ных чис­лах внутри самой мате­ма­тики. Прин­цип обоб­ще­ния. 3. Гео­мет­ри­че­ское пред­став­ле­ние раци­о­наль­ных чисел.
  • 2. Несо­из­ме­ри­мые отрезки. Ирра­ци­о­наль­ные числа, пре­делы 83
  1. Вве­де­ние. 2. Деся­тич­ные дроби: конеч­ные и бес­ко­неч­ные. 3. Преде лы. Бес­ко­неч­ные гео­мет­ри­че­ские про­грес­сии. 4. Раци­о­наль­ные числа

и пери­о­ди­че­ские деся­тич­ные дроби. 5. Общее опре­де­ле­ние ирра­цио наль­ных чисел посред­ством стя­ги­ва­ю­щихся отрез­ков. *6. Иные мето ды опре­де­ле­ния ирра­ци­о­наль­ных чисел. Деде­кин­довы сечения.

  • 3. Заме­ча­ния из обла­сти ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии 99
  1. Основ­ной прин­цип. 2. Урав­не­ния пря­мых и кри­вых линий.
  • 4. Мате­ма­ти­че­ский ана­лиз бес­ко­неч­ного 104
  1. Основ­ные поня­тия. 2. Счет­ность мно­же­ства раци­о­наль­ных чисел и несчет­ность кон­ти­ну­ума. 3. «Кар­ди­наль­ные числа» Кан­тора. 4. Кос вен­ный метод дока­за­тель­ства. 5. Пара­доксы бес­ко­неч­ного. 6. Осно­ва­ния математики.
  • 5. Ком­плекс­ные числа 116
  1. Воз­ник­но­ве­ние ком­плекс­ных чисел. 2. Гео­мет­ри­че­ское пред­став­ле­ние ком­плекс­ных чисел. 3. Фор­мула Муавра и корни из единицы.

*4. Основ­ная тео­рема алгебры.

  • 6. Алгеб­ра­и­че­ские и транс­цен­дент­ные числа 130
  1. Опре­де­ле­ние и вопросы суще­ство­ва­ния. **2. Тео­рема Лиувилля и кон­стру­и­ро­ва­ние транс­цен­дент­ных чисел.

Д о п о л н е н и е к г л а в е II. Алгебра мно­жеств 134

  1. Общая тео­рия. 2. При­ме­не­ние к мате­ма­ти­че­ской логике. 3. Одно из при­ме­не­ний к тео­рии вероятностей.

Гл а в а III. Гео­мет­ри­че­ские постро­е­ния. Алгебра чис­ло­вых полей 143

Вве­де­ние 143

Часть 1. Дока­за­тель­ства невоз­мож­но­сти и алгебра        146

  • 1. Основ­ные гео­мет­ри­че­ские постро­е­ния 146
  1. Постро­е­ние полей и извле­че­ние квад­рат­ных кор­ней. 2. Пра­виль­ные мно­го­уголь­ники. 3. Про­блема Аполлония.
  • 2. Числа, допус­ка­ю­щие постро­е­ние, и чис­ло­вые поля 153
  1. Общая тео­рия. 2. Все числа, допус­ка­ю­щие постро­е­ние — алгебраические.
  • 3. Нераз­ре­ши­мость трех клас­си­че­ских про­блем 161
  1. Удво­е­ние куба. 2. Одна тео­рема о куби­че­ских урав­не­ниях. 3. Три сек­ция угла. 4. Пра­виль­ный семи­уголь­ник. 5. Заме­ча­ния по поводу квад­ра­туры круга.

Часть 2. Раз­лич­ные методы выпол­не­ния постро­е­ний 167

  • 4. Гео­мет­ри­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния. Инвер­сия 167
  1. Общие заме­ча­ния. 2. Свой­ства инвер­сии. 3. Гео­мет­ри­че­ское по стро­е­ние обрат­ных точек. 4. Как раз­де­лить отре­зок попо­лам и как найти центр дан­ной окруж­но­сти с помо­щью одного циркуля.
  • 5. Постро­е­ния с помо­щью дру­гих инстру­мен­тов. Постро­е­ния Маскерони

с помо­щью одного цир­куля 173

*1. Клас­си­че­ская кон­струк­ция, слу­жа­щая для удво­е­ния куба. 2. По стро­е­ния с помо­щью одного цир­куля. 3. Чер­че­ние с помо­щью раз­лич­ных меха­ни­че­ских при­спо­соб­ле­ний. Меха­ни­че­ские кри­вые. Циклоиды.

*4. Шар­нир­ные меха­низмы. Инвер­соры Посе­лье и Гарта.

  • 6. Еще об инвер­сии и ее при­ме­не­ниях 185
  1. Инва­ри­ант­ность углов. Семей­ства окруж­но­стей. 2. При­ме­не­ние к про­блеме Апол­ло­ния. 3. Повтор­ные отражения.

Гл а в а IV. Про­ек­тив­ная гео­мет­рия. Акси­о­ма­тика. Неев­кли­довы гео­мет­рии 191

  • 1. Вве­де­ние 191
  1. Клас­си­фи­ка­ция гео­мет­ри­че­ских свойств. Инва­ри­ант­ность при пре обра­зо­ва­ниях. 2. Про­ек­тив­ные преобразования.
  • 2. Основ­ные поня­тия 194
  1. Группа про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. 2. Тео­рема Дезарга.
  • 3. Двой­ное отно­ше­ние 198
  1. Опре­де­ле­ние и дока­за­тель­ство инва­ри­ант­но­сти. 2. При­ме­не­ние к пол­ному четырехстороннику.
  • 4. Парал­лель­ность и бес­ко­неч­ность 206
  1. «Иде­аль­ные» бес­ко­нечно уда­лен­ные точки. 2. Иде­аль­ные эле­менты и про­ек­ти­ро­ва­ние. 3. Двой­ное отно­ше­ние с бес­ко­нечно уда­лен­ными элементами.
  • 5. При­ме­не­ния 212
  1. Пред­ва­ри­тель­ные заме­ча­ния. 2. Дву­мер­ное дока­за­тель­ство тео­ремы Дез­арга. 3. Тео­рема Пас­каля . 4. Тео­рема Бри­ан­шона. 5. Заме­ча­ние по поводу двойственности.
  • 6. Ана­ли­ти­че­ское пред­став­ле­ние 217
  1. Ввод­ные заме­ча­ния. *2. Одно­род­ные коор­ди­наты. Алгеб­ра­и­че­ские основы двойственности.
  • 7. Задачи на постро­е­ние с помо­щью одной линейки 223
  • 8. Кони­че­ские сече­ния и квад­рики 224
  1. Эле­мен­тар­ная мет­ри­че­ская гео­мет­рия кони­че­ских сече­ний. 2. Про ектив­ные свой­ства кони­че­ских сече­ний. 3. Кони­че­ские сече­ния как

«линей­ча­тые кри­вые». 4. Тео­ремы Пас­каля и Бри­ан­шона для общего слу­чая про­из­воль­ных кони­че­ских сече­ний. 5. Гиперболоид.

  • 9. Акси­о­ма­тика и неек­ли­дова гео­мет­рия 240
  1. Акси­о­ма­ти­че­ский метод. 2. Гипер­бо­ли­че­ская неев­кли­дова гео­мет­рия. 3. Гео­мет­рия и реаль­ность. 4. Модель Пуан­каре. 5. Эллип­ти­че­ская, или рима­нова, геометрия.

П р и л о ж е н и е. Гео­мет­рия в про­стран­ствах более чем трех изме­ре­ний 253

  1. Вве­де­ние. 2. Ана­ли­ти­че­ский под­ход. *3. Гео­мет­ри­че­ский, или ком бина­тор­ный, подход.

Гл а в а V. Топо­ло­гия 261

Вве­де­ние 261

  • 1. Фор­мула Эйлера для мно­го­гран­ни­ков 262
  • 2. Топо­ло­ги­че­ские свой­ства фигур 267
  1. Топо­ло­ги­че­ские свой­ства. 2. Свой­ства связности.
  • 3. Дру­гие при­меры топо­ло­ги­че­ских тео­рем 270
  1. Тео­рема Жор­дана о замкну­той кри­вой. 2. Про­блема четы­рех кра­сок. *3. Поня­тие раз­мер­но­сти. 4. Тео­рема о непо­движ­ной точке. 5. Узлы.
  • 4. Топо­ло­ги­че­ская клас­си­фи­ка­ция поверх­но­стей 282
  1. Род поверх­но­сти. *2. Эйле­рова харак­те­ри­стика поверх­но­сти. 3. Одно­сто­рон­ние поверхности.

П р и л о ж е н и е. 290

*1. Про­блема пяти кра­сок. 2. Тео­рема Жор­дана для слу­чая много уголь­ни­ков. *3. Основ­ная тео­рема алгебры.

Гл а в а VI. Функ­ции и пре­делы 299

Вве­де­ние 299

  • 1. Неза­ви­си­мое пере­мен­ное и функ­ция 300
  1. Опре­де­ле­ния и при­меры. 2. Ради­ан­ная мера углов. 3. Гра­фик функ­ции. Обрат­ные функ­ции. 4. Слож­ные функ­ции. 5. Непрерывность.

*6. Функ­ции несколь­ких пере­мен­ных. *7. Функ­ции и преобразования.

  • 2. Пре­делы 317
  1. Пре­дел после­до­ва­тель­но­сти an. 2. Моно­тон­ные после­до­ва­тель­но­сти. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непре­рыв­ные дроби.
  • 3. Пре­делы при непре­рыв­ном при­бли­же­нии 330
  1. Вве­де­ние. Общие опре­де­ле­ния. 2. Заме­ча­ния по поводу поня­тия пре­дела. 3. Пре­дел sin x . 4. Пре­делы при x → ∞.
  • 4. Точ­ное опре­де­ле­ние непре­рыв­но­сти 337
  • 5. Две основ­ные тео­ремы о непре­рыв­ных функ­циях 339
  1. Тео­рема Боль­цано. *2. Дока­за­тель­ство тео­ремы Боль­цано. 3. Тео рема Вей­ер­штрасса об экс­тре­маль­ных зна­че­ниях. *4. Тео­рема о по сле­до­ва­тель­но­стях. Ком­пакт­ные множества.
  • 6. Неко­то­рые при­ме­не­ния тео­ремы Боль­цано 344
  1. Гео­мет­ри­че­ские при­ме­не­ния. *2. При­ме­не­ние к одной меха­ни­че­ской проблеме.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VI. Даль­ней­шие при­меры на пре­делы и непре­рыв­ность 349

  • 1. При­меры пре­де­лов 349
  1. Общие заме­ча­ния.   2.  Пре­дел   qn.   3.  Пре­дел   √n  p.   4.  Разрывные

функ­ции как пре­дел непре­рыв­ных. *5. Пре­делы при итерации.

  • 2. При­мер, отно­ся­щийся к непре­рыв­но­сти 355

Гл а в а VII. Мак­си­мумы и мини­мумы 357

Вве­де­ние 357

  • 1. Задачи из обла­сти эле­мен­тар­ной гео­мет­рии 358
  1. Тре­уголь­ник наи­боль­шей пло­щади при двух задан­ных сторонах.
  2. Тео­рема Герона. Экс­тре­маль­ное свой­ство све­то­вых лучей. 3. При­ме­не­ния к зада­чам о тре­уголь­ни­ках. 4. Свой­ства каса­тель­ных к эллипсу и гипер­боле. Соот­вет­ству­ю­щие экс­тре­маль­ные свойства.

*5. Экс­тре­маль­ные рас­сто­я­ния точки от дан­ной кривой.

  • 2. Общий прин­цип, кото­рому под­чи­нены экс­тре­маль­ные задачи 366
  1. Прин­цип. 2. Примеры.
  • 3. Ста­ци­о­нар­ные точки и диф­фе­рен­ци­аль­ное исчис­ле­ние 369
  1. Экс­тре­маль­ные и ста­ци­о­нар­ные точки. 2. Мак­си­мумы и мини­мумы функ­ций несколь­ких пере­мен­ных. Сед­ло­вые точки. 3. Точки мини­макса и топо­ло­гия. 4. Рас­сто­я­ние точки от поверхности.
  • 4. Тре­уголь­ник Шварца 375
  1. Дока­за­тель­ство, пред­ло­жен­ное Швар­цем. 2. Дру­гое дока­за­тель­ство. 3. Тупо­уголь­ные тре­уголь­ники. 4. Тре­уголь­ники, обра­зо­ван­ные све­то­выми лучами. *5. Заме­ча­ния, каса­ю­щи­еся задач на отра­же­ние и эрго­ди­че­ское движение.
  • 5. Про­блема Штей­нера 382
  1. Про­блема и ее реше­ние. 2. Ана­лиз воз­ни­ка­ю­щих возможностей.
  2. Допол­ни­тель­ная про­блема. 4. Заме­ча­ния и упраж­не­ния. 5. Обоб щение: про­блема улич­ной сети.
  • 6. Экс­тре­мумы и нера­вен­ства 389
  1. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское и сред­нее гео­мет­ри­че­ское двух положи тель­ных вели­чин. 2. Обоб­ще­ние на слу­чай n пере­мен­ных. 3. Метод наи­мень­ших квадратов.
  • 7. Суще­ство­ва­ние экс­тре­мума. Прин­цип Дири­хле 394
  1. Общие заме­ча­ния. 2. При­меры. 3. Экс­тре­маль­ные про­блемы эле­мен­тар­ного содер­жа­ния. 4. Труд­но­сти, воз­ни­ка­ю­щие в более слож­ных случаях.
  • 8. Изо­пе­ри­мет­ри­че­ская про­блема 401

*§ 9. Экс­тре­маль­ные про­блемы с гра­нич­ными усло­ви­ями. Связь между про бле­мой Штей­нера и изо­пе­ри­мет­ри­че­ской про­бле­мой 404

  • 10. Вари­а­ци­он­ное исчис­ле­ние 407
  1. Вве­де­ние. 2. Вари­а­ци­он­ное исчис­ле­ние. Прин­цип Ферма в оптике.
  2. Реше­ние задачи о бра­хи­сто­хроне, при­над­ле­жа­щее Якобу Бернулли.
  3. Гео­де­зи­че­ские линии на сфере. Минимаксы.
  • 11. Экс­пе­ри­мен­таль­ные реше­ния задач на минимум.

Опыты с мыль­ными плен­ками 413

  1. Вве­де­ние. 2. Опыты с мыль­ными плен­ками. 3. Новые опыты, от нося­щи­еся к про­блеме Плато. 4. Экс­пе­ри­мен­таль­ные реше­ния дру­гих мате­ма­ти­че­ских проблем.

Гл а в а VIII.  Мате­ма­ти­че­ский ана­лиз 425

Вве­де­ние 425

  • 1. Инте­грал 426
  1. Пло­щадь как пре­дел. 2. Инте­грал. 3. Общие заме­ча­ния о поня­тии инте­грала. Общее опре­де­ле­ние. 4. При­меры инте­гри­ро­ва­ния. Инте­гри­ро­ва­ние функ­ции xr. 5. Пра­вила «инте­граль­ного исчисления».
  • 2. Про­из­вод­ная 442
  1. Про­из­вод­ная как наклон. 2. Про­из­вод­ная как пре­дел. 3. Примеры.
  2. Про­из­вод­ные от три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций. *5. Диф­фе­рен­ци­ру­е­мость и непре­рыв­ность. 6. Про­из­вод­ная и ско­рость. Вто­рая про­из­вод­ная и уско­ре­ние. 7. Гео­мет­ри­че­ский смысл вто­рой производной.
  3. Мак­си­мумы и минимумы.
  • 3. Тех­ника диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния 455
  • 4. Обо­зна­че­ния Лейб­ница и «бес­ко­нечно малые» 461
  • 5. Основ­ная тео­рема ана­лиза 463
  1. Основ­ная тео­рема. 2. Пер­вые при­ме­не­ния. Инте­гри­ро­ва­ние функ­ций xr, cos x, sin x. Функ­ция arctg x. 3. Фор­мула Лейб­ница для p.
  • 6. Пока­за­тель­ная (экс­по­нен­ци­аль­ная) функ­ция и лога­рифм 471
  1. Опре­де­ле­ние и свой­ства лога­рифма. Эйле­рово число e. 2. Пока­за­тель­ная (экс­по­нен­ци­аль­ная) функ­ция. 3. Фор­мулы диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния функ­ций ex, ax, xs. 4. Явные выра­же­ния числа e и функ­ций ex и ln x в виде пре­де­лов. 5. Бес­ко­неч­ный ряд для лога­рифма. Вычис­ле­ние логарифмов.
  • 7. Диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния 482
  1. Опре­де­ле­ния. 2. Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние экс­по­нен­ци­аль­ной функ­ции. Радио­ак­тив­ный рас­пад. Закон роста. Слож­ные проценты.
  2. Дру­гие при­меры. Про­стые коле­ба­ния. 4. Закон дви­же­ния Ньютона.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VIII. 491

  • 1. Вопросы прин­ци­пи­аль­ного порядка 491
  1. Диф­фе­рен­ци­ру­е­мость. 2. Инте­грал. 3. Дру­гие при­ло­же­ния поня­тия инте­грала. Работа. Длина кривой.
  • 2. Порядки воз­рас­та­ния 498
  1. Пока­за­тель­ная функ­ция и сте­пени пере­мен­ного x. 2. Поря­док воз­рас­та­ния функ­ции ln(n!).
  • 3. Бес­ко­неч­ные ряды и бес­ко­неч­ные про­из­ве­де­ния 501
  1. Бес­ко­неч­ные ряды функ­ций. 2. Фор­мула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гар­мо­ни­че­ский ряд и дзета функ­ция. Фор­мула Эйлера, выра­жа­ю­щая sin x в виде бес­ко­неч­ного произведения.

*§4. Дока­за­тель­ство тео­ремы о про­стых чис­лах на основе ста­ти­сти­че­ского метода            511

При­ло­же­ние. Допол­ни­тель­ные заме­ча­ния. Задачи и упраж­не­ния 517

Ариф­ме­тика и алгебра        517

Ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия 519

Гео­мет­ри­че­ские постро­е­ния 525

Про­ек­тив­ная и неев­кли­дова гео­мет­рия 525

Топо­ло­гия 527

Функ­ции, пре­делы, непре­рыв­ность 530

Мак­си­мумы и мини­мумы 531

Диф­фе­рен­ци­аль­ное и инте­граль­ное исчис­ле­ния 533

Тех­ника инте­гри­ро­ва­ния 535

Добав­ле­ние 1.

Вклейка «От изда­тель­ства» в пер­вое изда­ние книги на рус­ском языке 541

Добав­ле­ние 2. О созда­нии книги «Что такое мате­ма­тика?»     544

Реко­мен­ду­е­мая лите­ра­тура 551

Пред­мет­ный указатель

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

*

Размер шрифта: A- 15 A+
Цвет темы:
Цвет полей:
Шрифт: A T G
Текст:
Боковая панель:
Сбросить настройки